Question

6．冬天來了，曬衣服成了頭疼的事情，聰明的小華想到一個好辦法，在家后院地面（BD）上立兩根等長的立柱AB、CD（均與地面垂直），并在立柱之間懸掛一根繩子．由于掛的衣服比較多，繩子的形狀近似成了拋物線y=ax²-0.8x+c，如圖1，已知立柱AB=CD=2.6米，BD=8米．

（1）求繩子最低點離地面的距離；
（2）為了防止衣服碰到地面，小華在離AB為3米的位置處用一根垂直于地面的立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線F₁的最低點距MN為1米，離地面1.6米，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以求出拋物線的解析式，從而可以求得拋物線的頂點坐標，進而得到繩子最低點離地面的距離；
（2）根據題意可以求得拋物線F₁的函數解析式，然后將x=3代入求出的函數解析式即可解答本題．

解答 解：（1）∵拋物線經過點A（0，2.6）、B（8，2.6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2.6}\\{a×{8}^{2}-0.8×8+c=2.6}\end{array}\right.$，
解得，a=0.1，c=2.6，
∴y=0.1x²-0.8x+2.6=0.1（x-4）²+1，
∴當x=4時，y取得最小值，此時y=1，
即繩子最低點離地面的距離1米；
（2）由題意可得，拋物線F₁的頂點坐標為（2，1.6），
設拋物線F₁的函數解析式為y=a₁（x-2）²+1.6，
∵點A（0，2.6）在拋物線F₁上，
∴2.6=a₁（0-2）²+1.6，得a₁=0.25，
∴拋物線F₁的函數解析式為y=0.25（x-2）²+1.6，
當x=3時，y=0.25（3-2）²+1.6=1.85，
即MN的長是1.85米．

點評 本題考查二次函數的應用，解答此類問題的關鍵是明確題意，求出函數相應的解析式，根據函數的頂點式可以求得函數的最值．