Question

16．如圖，是二次函數 y=ax²+bx+c（ a≠0 ）的圖象，則下列四個結論中正確的有幾個？（　�。�①abc＞0； ②b2＞4ac；③2c＜3b；④4a+2b+c＞0．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由拋物線開口方向得到a＜0，由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a＞0，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，則可對①進行判斷；根據判別式的意義可對②進行判斷；利用x=-1得到a-b+c＜0，加上a=-$\frac{1}{2}$b，則可對③進行判斷；利用拋物線的對稱性確定拋物線與x軸的另一個交點在（2，0）與（3，0）之間，則x=2時，y＞0，于是可對④進行判斷．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b²-4ac＞0，所以②正確；
∵x=-1時，y＜0，
∴a-b+c＜0，
而a=-$\frac{1}{2}$b，
∴-$\frac{1}{2}$b-b+c＜0，
∴2c＜3b，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個交點在（0，0）與（-1，0）之間，
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在（2，0）與（3，0）之間，
∴x=2時，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以④正確．
故選C．

點評 本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點．，拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數．△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．