Question

3．在△ABC中，AB=12，AC=BC=10，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ADE，點B的對應點為點D，點C的對應點為點E，連接BD、BE，延長BE交AD于點F．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）求證：BF⊥AD，AF=DF；
（3）求線段BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明；
（2）根據線段垂直平分線的判定定理得到點B、E在AD的垂直平分線上，證明距離；
（3）根據勾股定理求出BF、EF的長，計算即可．

解答 解：（1）證明：由旋轉變換的性質可知，∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形；
（2）∵△ABD是等邊三角形，
∴BA=BD，
∴點B在AD的垂直平分線上，
∵EA=CA，ED=CB，CA=CB，
∴EA=ED，
∴E在AD的垂直平分線上，
∴BE垂直平分AD，即BF⊥AD，AF=DF；
（3）∵AF=$\frac{1}{2}$AD=6，AB=12，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵AF=6，AE=AC=10，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=8，
∴BE=BF-EF=6$\sqrt{3}$-8．

點評 本題考查的是旋轉變換的性質、線段垂直平分線的判定和性質以及勾股定理的應用，掌握線段垂直平分線的判定定理、旋轉變換的性質是解題的關鍵．