Question

如圖（1），將Rt△AOB放置在平面直角坐標系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=，斜邊OB在x軸的正半軸上，點A在第一象限，∠AOB的平分線OC交AB于C．動點P從點B出發沿折線BC﹣CO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，運動時間為t秒，同時動點Q從點C出發沿折線CO﹣Oy以相同的速度運動，當點P到達點O時P、Q同時停止運動．
（1）OC、BC的長；
（2）設△CPQ的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）當P在OC上、Q在y軸上運動時，如圖（2），設PQ與OA交于點M，當t為何值時，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；
（2）當0＜t≤2時，=，
當2≤t＜4時=，
綜上：；
（3）（i）當MO=MP時，∠MOP=∠MPO=30°
∴PQ⊥OQ，
∴OP=2OQ，
∴4﹣t=2（t﹣2），
∴；
（ii）當OP=OM時，過P作PN⊥OQ于N，則∠QPN=45°，
∴PN=QN，
∴，
解得
（iii）當OP=PM時，PQ∥y，不可能．
綜上，當或時，△OPM為等腰三角形．