Question

如圖（1），將Rt△AOB放置在平面直角坐標系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，斜邊OB在x軸的正半軸上，點A在第一象限，∠AOB的平分線OC交AB于C．動點P從點B出發沿折線BC-CO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，運動時間為t秒，同時動點Q從點C出發沿折線CO-Oy以相同的速度運動，當點P到達點O時P、Q同時停止運動．
（1）OC、BC的長；
（2）設△CPQ的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）當P在OC上、Q在y軸上運動時，如圖（2），設PQ與OA交于點M，當t為何值時，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形AOB中根據OB和cos60°，利用三角函數的定義求出OA，然后根據角平分線的定義得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函數的定義即可求出OC的長，根據等角對等邊可知BC等于OC；
（2）分兩種情況考慮：第一，P在BC邊上，根據速度和時間t得到PB等于CQ都等于t，過Q作DE與AC垂直，QE等于CQsin60°，CP等于BC減去PB，利用三角形的面積公式即可列出S與t的函數關系式；第二，當P在邊CQ上時，同理可得S與t的關系式；
（3）分三種情況考慮：第一，OP為等腰三角形的底邊時，由∠MOP等于∠MPO都等于30°，則∠QOP為60°，得到PQ與OQ垂直，根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OP等于2OQ，分別表示出OP和OQ代入即可得到關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第二，當OP為等腰三角形的腰時，過P作PN⊥OQ，得到∠QPN=45°，所以△QPN為等腰直角三角形得到PN=QN，分別表示出PN和QN列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第三，當OP=PM時，PQ∥y，不存在三角形．

解答：解：（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，
OA=OBcos60°=

3

，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴OC=

AO

cos30°

=2，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；

（2）當0＜t≤2時，S=

1

2

t(2-t)sin60°=-

3

4

t2+

3

2

t，
當2≤t＜4時S=

1

2

(t-2)(4-t)sin60°=-

3

4

t²+

3 3

2

t-2

3

，
綜上：S=

- 3 4 t2+ 3 2 t 3 4 t2+ 3 3 2 t-2 3

；

（3）（i）當MO=MP時，∠MOP=∠MPO=30°
∴PQ⊥OQ，
∴OP=2OQ，
∴4-t=2（t-2），
∴t=

8

3

；
（ii）當OP=OM時，過P作PN⊥OQ于N，
則∠QPN=45°，
∴PN=QN，
∴

3

2

(4-t)=t-2-

1

2

(4-t)，解得t=2+

2

3

3

（iii）當OP=PM時，PQ∥y，
此時∠MOP=∠OMP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此時不存在；
綜上，當t=

8

3

或2+

2

3

3

時，△OPM為等腰三角形．

點評：此題考查學生會根據已知的邊和角利用三角函數的定義求出未知邊和角，掌握直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半及等腰三角形的性質與判斷，注意靈活運用分類討論的方法解決實際問題，是一道綜合題．學生做題時應注意考慮問題要全面．