Question

11．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE，連接DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，下列結論：
①△DEF是等腰直角三角形；
②四邊形CDEF不可能四邊都相等；
③DE長度的最小值為4；
④四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤△CDE面積的最大值為8．
其中正確的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①④⑤
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 ①連接CF，證明△ADF≌△CEF，可以得出結論正確；
②當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形；所以此結論不正確；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；
即當DF⊥AC時，DE最小，求出最小值，所以此結論不正確；
④根據兩三角形全等時面積也相等得：S_△CEF=S_△ADF，利用割補法知：S_{四邊形CDFE}=S_△AFC，F是定點，所以△AFC的面積是定值，即四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤當△CDE面積最大時，此時△DEF的面積最小，計算S_△CDE=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF，代入即可．

解答 解：①連接CF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵F是AB邊上的中點，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠ACF=∠BCF=45°，
∴∠AFC=90°，
∴∠A=∠BCF，
在△ADF和△CEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠BCF}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC=90°，
即∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
所以此結論正確；
②當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形．
如圖2，∵E是BC的中點，F是AB邊上的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC=CD，
∴四邊形CDFE是平行四邊形，
∵CD=$\frac{1}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$BC，AC=BC，
∴CD=CE，
∵∠C=90°，
∴四邊形CDFE是正方形，
但已知點D、E分別在AC、BC邊上運動，并不能一直保持D、E分別是AC、BC的中點，所以四邊形CDEF不可能四邊都相等；
所以此結論不正確；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；
即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴DE=$\sqrt{2}$DF=4$\sqrt{2}$；
所以此結論不正確；
④∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四邊形CDFE}=S_△AFC．
∴四邊形CDFE的面積保持不變；
所以此結論正確；
⑤當△CDE面積最大時，此時△DEF的面積最小，
∵∠C=90°，AC=BC=8，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
∴AF=CF=4$\sqrt{2}$，
此時S_△CDE=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$×$4\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×4×4=16-8=8．
則結論正確的是①④⑤．
故選C．

點評 本題是三角形的綜合題，難度適中，此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵，在第③問中，由DF的最值來確定DE的最值，這在討論最值問題中經常運用，要熟練掌握．