Question

如圖，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延長BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延長線交于A點，若∠A=33°，∠DFE=63°．
（1）求證：∠DFE=∠A+∠D+∠E；
（2）求∠E的度數(shù)；
（3）若在上圖中作∠CBE與∠GCE的平分線交于E₁，作∠CBE₁與∠GCE₁的平分線交于E₂，作∠CBE₂與∠GCE₂的平分線于E₃，以此類推，∠CBE_n與∠GCE_n的平分線交于E_n+1，請用含有n的式子表示∠E_n+1的度數(shù)（直接寫答案）．

Answer 1

（1）證明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，
∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；

（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，
∴∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=∠DBC，
∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，
∴∠E+∠DBC=（∠D+∠DBC），
∴∠E=∠D，
∴∠D=2∠E．
∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，
∴∠D+∠E=∠DEF-∠A=63°-33°=30°，
∴2∠E+∠E=30°，
∴∠E=10°；

（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE₁平分∠ECG，
∴∠E₁CG=∠ECG=（∠E+∠EBC）．
∵BE₁平分∠EBC，
∴∠E₁BC=∠EBC．
∵∠E₁CG=∠E₁+∠E₁BC=∠E₁+∠EBC，
∴∠E₁+∠EBC=（∠E+∠EBC），
∴∠E₁=∠E．
同理：∠E₂=∠E₁，
∴∠E₂=∠E=∠E，
∴∠E_n+1=∠E．
分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，將第一式代入第二式即可得證；
（2）根據(jù)角平分線及三角形外角的性質(zhì)得出∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，則∠D=2∠E，再利用上題結(jié)論∠DFE=∠A+∠D+∠E，將已知條件代入，即可求出∠E的度數(shù)；
（3）先根據(jù)角平分線及三角形外角的性質(zhì)得出∠E₁=∠E，同理得出∠E₂=∠E₁，則∠E₂=∠E=∠E，由此得出規(guī)律∠E_n+1=∠E．
點評：本題主要考查了三角形的角平分線、三角形的外角的性質(zhì)，（3）中得出∠E₁=∠E，是解題的關(guān)鍵．