Question

如圖，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延長BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延長線交于A點，若∠A=33°，∠DFE=63°．
（1）求證：∠DFE=∠A+∠D+∠E；
（2）求∠E的度數；
（3）若在上圖中作∠CBE與∠GCE的平分線交于E₁，作∠CBE₁與∠GCE₁的平分線交于E₂，作∠CBE₂與∠GCE₂的平分線于E₃，以此類推，∠CBE_n與∠GCE_n的平分線交于E_n+l，請用含有n的式子表示∠E_n+l的度數（直接寫答案）．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，將第一式代入第二式即可得證；
（2）根據角平分線及三角形外角的性質得出∠ECG=

1

2

∠DCG=

1

2

（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+

1

2

∠DBC，則∠D=2∠E，再利用上題結論∠DFE=∠A+∠D+∠E，將已知條件代入，即可求出∠E的度數；
（3）先根據角平分線及三角形外角的性質得出∠E₁=

1

2

∠E，同理得出∠E₂=

1

2

∠E₁，則∠E₂=

1

4

∠E=

1

22

∠E，由此得出規律∠E_n+l=

1

2n+1

∠E．

解答：（1）證明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，
∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；

（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，
∴∠ECG=

1

2

∠DCG=

1

2

（∠D+∠DBC），
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=

1

2

∠DBC，
∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+

1

2

∠DBC，
∴∠E+

1

2

∠DBC=

1

2

（∠D+∠DBC），
∴∠E=

1

2

∠D，
∴∠D=2∠E．
∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，
∴∠D+∠E=∠DEF-∠A=63°-33°=30°，
∴2∠E+∠E=30°，
∴∠E=10°；

（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE₁平分∠ECG，
∴∠E₁CG=

1

2

∠ECG=

1

2

（∠E+∠EBC）．
∵BE₁平分∠EBC，
∴∠E₁BC=

1

2

∠EBC．
∵∠E₁CG=∠E₁+∠E₁BC=∠E₁+

1

2

∠EBC，
∴∠E₁+

1

2

∠EBC=

1

2

（∠E+∠EBC），
∴∠E₁=

1

2

∠E．
同理：∠E₂=

1

2

∠E₁，
∴∠E₂=

1

4

∠E=

1

22

∠E，
∴∠E_n+l=

1

2n+1

∠E．

點評：本題主要考查了三角形的角平分線、三角形的外角的性質，（3）中得出∠E₁=

1

2

∠E，是解題的關鍵．