Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經過點A、D的⊙O分別交邊AB、AC于點E、F．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BE=16，sinB=，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內錯角相等，進而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；

（2）連接EF，設圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數定義求出r的值，由直徑所對的圓周角為直角，得到EF與BC平行，得到sin∠AEF＝sinB，進而求出AF的長即可．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵AD為∠BAC的角平分線，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC為圓O的切線；

（2）在Rt△BOD中，sinB=，

設圓的半徑為r，可得，

解得：r＝10，

經檢驗，符合題意，

連接EF，

∵AE是直徑

∴∠AFE=90°

∴EF∥BC

∴∠B=∠AEF

∴sinB=sin∠AEF=

即

∴AF=．