Question

如圖，操作：把正方形CGEF的對(duì)角線(xiàn)CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上（CG＞BC），取線(xiàn)段AE的中點(diǎn)M．
探究：線(xiàn)段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．
說(shuō)明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求至少寫(xiě)3步）；
（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程后，可以從下列①、②、③中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明．
注意：選取①完成證明得10分；選取②完成證明得7分；選取③完成證明得5分．
①DM的延長(zhǎng)線(xiàn)交CE于點(diǎn)N，且AD=NE；②將正方形CGEF6繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°（如圖），其他條件不變；③在②的條件下，且CF=2AD．
附加題：將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖），其他條件不變．探究：線(xiàn)段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

證明：關(guān)系是：MD=MF，MD⊥MF
如圖，延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N，連接FD、FN

∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2
又∵AM=EM，∠3=∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN，MD=MN
∵AD=DC，∴DC=NE
又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，F(xiàn)C=FE，∠CFE=90°
又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°．∴∠DCF=∠NEF=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6
∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°
又∵DM=MN=

1

2

DN，
∴M為DN的中點(diǎn)，
∴FM=

1

2

DN，
∴MD=MF，DM⊥MF
思路一：∵四邊形ABCD、CGEF是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，∠FCE=∠FEC=45°
∴∠DCF=∠FEC
思路二：
延長(zhǎng)DM交CE于N，∵四邊形ABCD、CGEF是正方形
∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM
又∵∠DMA=∠NME，AM=EM，∴△ADM≌△ENM
思路三：∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠FEC=45°
又∵正方形ABCD，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°-∠DCB-∠FCE=45°，∠DCF=∠FEC=45°
選取條件①
證明：如圖
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2
∵AD=NE，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM
∴MD=MN
又∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵正方形CGEF，
∴FC=FE，∠FCE=∠FEN=45°．
∴∠FCD=∠FEN=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6，
∴∠DFN=∠CFE=90°
∴MD=MF，MD⊥MF
選取條件②
證明：如圖，
延長(zhǎng)DM交FE于N

∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE．
∴∠1=∠2
又∵M(jìn)A=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵FC=FE，
∴FD=FN
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．
選取條件③
證明：如圖，
延長(zhǎng)DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1=∠2
又∵M(jìn)A=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴AD=EN，MD=MN．
∵CF=2AD，EF=2EN
∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，
∴MD=MF，MD⊥MF

附加題：
證明：如圖
過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線(xiàn)分別交DM、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N、H，連接DF、FN
則∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△ADM≌△ENM
∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形ABCD、CGEF
∴AD=DC，F(xiàn)C=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，CG∥FE
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°
∴∠DFN=90°．
∴DM=FM，DM⊥FM．