Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCAB的兩邊在直角坐標系的坐標軸上，頂點A在第二象限，OB=4，OC=3，點D是邊AB上的一個動點（點D不與A，B重合），過點D的反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象與邊AC交于點E．
（1）求證：DE∥BC；
（2）點P在BC上，是否存在點D使得△DPE的面積為$\frac{4}{3}$，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質可得出點D、E的坐標，由此可得出AD、AE的長度，根據$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$即可證出DE∥BC；
（2）過點A作AM⊥BC于點M，AM交DE于點N，利用面積法求出AM的長度，設AD=x（0＜x＜3），則BD=3-x，根據平行線的性質找出DE、MN的長度，根據三角形的面積公式結合△DPE的面積為$\frac{4}{3}$，即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵四邊形OCAB為矩形，頂點A在第二象限，OB=4，OC=3，
∴點A的坐標為（-4，3），AB=3，AC=4，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5．
∵點D、點E在反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴點D的坐標為（-4，-$\frac{m}{4}$），點E的坐標為（$\frac{m}{3}$，3），
∴BD=-$\frac{m}{4}$，AD=AB-BD=3+$\frac{m}{4}$，CE=-$\frac{m}{3}$，AE=AC-CE=4+$\frac{m}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3+\frac{m}{4}}{3}$=$\frac{12+m}{12}$，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{4+\frac{m}{3}}{4}$=$\frac{12+m}{12}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴DE∥BC．
（2）過點A作AM⊥BC于點M，AM交DE于點N，如圖所示．
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AM=$\frac{12}{5}$．
設AD=x（0＜x＜3），則BD=3-x，
∵DE∥BC，
∴DE=$\frac{5}{3}$x，AN=$\frac{4}{5}$x，
∴MN=AM-AN=$\frac{12}{5}$-$\frac{4}{5}$x，
∵S_△DPE=$\frac{1}{2}$DE•MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$x•（$\frac{12}{5}$-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{2}{3}{x}^{2}$+2x=$\frac{4}{3}$，
整理得：x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴當點D的坐標為（-4，1）或（-4，2）時，△DPE的面積為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、矩形的性質以及平行線的性質，根據反比例函數圖象上點的坐標特征找出點D、E的坐標是解題的關鍵．