Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E是BC上一點（不與點B，C重合），點M是AE上一點（不與點A，E重合），連接并延長CM交AB于點G，將線段CM繞點C按順時針方向旋轉90°，得到線段CN，射線BN分別交AE的延長線和GC的延長線于D，F．

（1）求證：△ACM≌△BCN；

（2）求∠BDA的度數；

（3）若∠EAC＝15°，∠ACM＝60°，AC＝+1，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BDA＝90°；（3）AM＝．

【解析】

（1）根據題意可知∠ACM＝∠BCN，再利用SAS即可證明

（2）根據（1）可求出∠ACE＝∠BDE＝90°，即可解答

（3）作MH⊥AC交AC于H．在AC上取一點，使得AQ＝MQ，設EH＝a．可知AQ＝QM＝2a，QH＝ a，再求出a的值，利用勾股定理即可解答

（1）∵∠ACB＝90°，∠MCN＝90°，

∴∠ACM＝∠BCN，

在△MAC和△NBC中

，

∴△MAC≌△NBC（SAS）．

（2）∵△MAC≌△NBC，

∴∠NBC＝∠MAC

∵∠AEC＝∠BED，

∴∠ACE＝∠BDE＝90°，

∴∠BDA＝90°．

（3）作MH⊥AC交AC于H．在AC上取一點，使得AQ＝MQ，設EH＝a．

∵AQ＝QM，

∴∠QAE＝∠AMQ＝15°，

∴∠EQH＝30°，

∴AQ＝QM＝2a，QH＝ a，

∵∠ECH＝60°，

∴CH＝ a，

∵AC＝+1，

∴2a+a+a＝+1，

∴a＝ ，

∵AM＝ ＝（ + ）a＝．