Question

30、已知方程x²+px+q=0有兩個不相等的整數根，p，q是自然數，且是質數，這個方程的根是

-1和-2

．

Answer 1

分析：首先根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．再利用已知條件p，q是自然數，且是質數，分q是奇數與偶數討論x₁、x₂的取值情況，最終得到方程的根．

解答：解：．設兩根為x₁，x₂．則
x₁+x₂=-p    ①
x₁x₂=q      ②
由題設及①，②可知，x₁，x₂均為負整數．q為質數，若q為奇數，則x₁，x₂均為奇數．從而p為偶數，而偶質數只有2，兩個負整數之和為-2，且不相等，這是不可能的．
若q為偶數（只能是2），兩個負整數之積為2，且不相等，只能是-1和-2．
∴方程的根是-1和-2．
故答案為：-1和-2．

點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系．解決本題的關鍵是同學們在理解質數的基礎上對q的取值分偶數、奇數討論．