Question

8．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=AC．
（1）求∠CDE的度數；
（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

分析 （1）證明△ACD≌△BCD即可解題；
（2）連接CM，先證明CM=CD，即可證明△BCD≌△ECM，即可解題．

解答 解：∵AC=BC，∠CAD=∠CBD
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠CAD=∠CBD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=60°；
（2）連接CM，

∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△DMC為等邊三角形，
∴∠MCE=45°
∴CM=CD，
在△BCD和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CM}\\{∠BCD=∠ECM}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ECM（SAS），
∴ME=BD．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質．