Question

1．觀察下列運(yùn)算：
①由（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；
②由（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
③由（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；
…
（1）通過(guò)觀察你得出什么規(guī)律？用含n的式子表示出來(lái)；
（2）利用（1）中你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$）×（$\sqrt{2017}$+1）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)律即可得出$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n≥0）；
（2）先運(yùn)用（1）中所得規(guī)律，將$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$中各項(xiàng)化簡(jiǎn)計(jì)算，最后運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）由題可得，$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n≥0）；
（2）（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$）×（$\sqrt{2017}$+1）
=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2016}$）（$\sqrt{2017}$+1）
=（$\sqrt{2017}$-1）（$\sqrt{2017}$+1）
=（$\sqrt{2017}$）²-1
=2017-1
=2016．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了分母有理化的運(yùn)用，分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．