Question

15．（1）如圖1，OP是∠MON的平分線，請你在圖1中畫出一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．
（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，請判斷寫出FE與FD之間的數(shù)量關系．
（3）如圖3，△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其他條件不變，AE=3，CD=2，求AC的長度．

Answer 1

分析 （1）在∠MON的角平分線上任意取一點A，過點A作∠MON兩邊的垂線，垂足分別為B，C，則所構成的兩個三角形全等，它們關于OP對稱；
（2）根據圖（1）的作法，在AC上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根據ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根據圖（1）的作法，在AC上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根據ASA證明△FDC≌△FGC，得CD=CG，進而得出AC的長度．

解答 解：（1）如圖1所示，△AOB≌△AOC；


 （2）FE與FD之間的數(shù)量關系為：DF=EF．
證明：如圖2，在AC上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分線，
∴∠DCF=∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{∠DCF=∠GCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF=GF．
∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠AFE=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠AFG}\\{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF=GF，
∴DF=EF；

（3）如圖3，在AC上截取AG=AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA=∠GFA．
又由題可知，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，
∴∠EFA=∠GFA=180°-120°=60°=∠DFC，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD=CG，
∴AC=AG+CG=AE+CD=3+2=5．

點評 此題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質的運用，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造全等三角形．