Question

已知：A（a，y₁）．B（2a，y₂）是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）圖象上的兩點(diǎn)．
（1）比較y₁與y₂的大小關(guān)系；
（2）若A、B兩點(diǎn)在一次函數(shù)y=-

4

3

x+b第一象限的圖象上（如圖所示），分別過A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，且S_△OAB=8，求a的值；
（3）在（2）的條件下，如果3m=-4x+24，3n=

32

x

，求使得m＞n的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的圖象所在的象限，再根據(jù)函數(shù)的增減性及a的符號討論y₁與y₂的大小；
（2）先根據(jù)A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，找出y₁、y₂之間的關(guān)系，再由A、B兩點(diǎn)也在一次函數(shù)y=-

4

3

x+b的圖象上可求出y₁、y₂的表達(dá)式，代入從反比例函數(shù)所求的y₁、y₂之間的關(guān)系可求出b與a之間的關(guān)系，再由S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD即可解答；
（3）根據(jù)（2）中所求的未知數(shù)的值即可求出一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析表達(dá)式及A、B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合由兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可解答．

解答：解：（1）∵A、B是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）圖象上的兩點(diǎn)，
∴a≠0，
當(dāng)a＞0時(shí)，A、B在第一象限，由a＜2a可知，y₁＞y₂，
同理，a＜0時(shí)，y₁＜y₂；

（2）∵A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，
∴AC=y₁=

k

a

，BD=y₂=

k

2a

，
∴y₁=2y₂．
又∵點(diǎn)A（a，y₁）、B（2a，y₂）在一次函數(shù)y=-

4

3

a+b的圖象上，
∴y₁=-

4

3

a+b，y₂=-

8

3

a+b，
∴-

4

3

a+b=2（-

8

3

a+b），
∴b=4a，
∵S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD，
又∵S_△AOC=S_△BOD，
∴S_梯形ACDB=S_△AOB，
∴

1

2

[（-

4

3

a+b）+（-

8

3

a+b）]•a=8，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2．

（3）由（2）得，一次函數(shù)的解析式為y=-

4

3

x+8，
反比例函數(shù)的解析式為：y=

32

3x

，
A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2、4，
且m=-

4

3

x+8、n=

32

3x

，
因此使得m＞n的x的取值范圍就是反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象下方的點(diǎn)中橫坐標(biāo)的取值范圍，
從圖象可以看出2＜x＜4或x＜0．

點(diǎn)評：此題綜合考查了一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的方法求不等式的解集，是一道難度較大的題目．