Question

17．已知如圖，菱形ABCD的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、BD交于原點O，DF⊥AB交AC于點G，反比例函數y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）經過線段DC的中點E，若BD=4，則AG的長為（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$+2
• C． 2$\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$+1

Answer 1

分析 過E作y軸和x的垂線EM，EN，證明四邊形MENO是矩形，設E（b，a），根據反比例函數圖象上點的坐標特點可得ab=$\sqrt{3}$，進而可計算出CO長，根據三角函數可得∠DCO=30°，再根據菱形的性質可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2$\sqrt{3}$，然后利用勾股定理計算出DG長，進而可得AG長．

解答 解：過E作y軸和x的垂線EM，EN，
設E（b，a），
∵反比例函數y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）經過點E，
∴ab=$\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四邊形MENO是矩形，
∴ME∥x，EN∥y，
∵E為CD的中點，
∴DO•CO=4$\sqrt{3}$，
∴CO=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠DCO=$\frac{DO}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCO=30°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2$\sqrt{3}$，
∵DF⊥AB，
∴∠2=30°，
∴DG=AG，
設DG=r，則AG=r，GO=2$\sqrt{3}$-r，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠3=30°，
在Rt△DOG中，DG²=GO²+DO²，
∴r²=（2$\sqrt{3}$-r）²+2²，
解得：r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AG=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點評 此題主要考查了反比例函數和菱形的綜合運用，關鍵是掌握菱形的性質：菱形對角線互相垂直平分，且平分每一組對角，反比例函數圖象上的點橫縱坐標之積=k．