Question

12．如圖，△ABC是等腰直角三角形，點O是斜邊BC的中點，點E在AC上，點D在AB上，∠DOE=45°．若BD=9，CE=8，求DE的長．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質得出AB=AC，∠A=90°，∠B=∠C=45°，BO=CO，由角的關系證出∠BDO=∠COE，得出△BDO∽△COE，得出對應邊成比例求出BO，得出BC，再由等腰直角三角形的性質求出AB=AC=12，得出AD、AE的長，然后由勾股定理求出DE即可．

解答 解：連接DE，如圖所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，點O是斜邊BC的中點，
∴AB=AC，∠A=90°，∠B=∠C=45°，BO=CO，
∴∠DOB+∠BDO=135°，
∵∠DOE=45°，
∴∠DOB+∠COE=135°，
∴∠BDO=∠COE，
∴△BDO∽△COE，
∴$\frac{BD}{CO}=\frac{BO}{EC}$，即$\frac{9}{BO}=\frac{BO}{8}$，
解得：BO=6$\sqrt{2}$，
∴BC=2BO=12$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=12，
∴AD=AB-BD=3，AE=AC-EC=4，
∴DE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關鍵．