Question

12．如圖1，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜邊上，且∠MCN=45°．
（1）將△BCN繞點C按順時針方向旋轉90°得△ACP，連接MP（如圖2）．
①試說明∠PCM=∠NCM的理由；
②求證：MN²=AM²+BN²；
（2）如圖3，若原題中點N仍在線段AB上，而點M在BA的延長線上時，試判斷AM、BN、MN之間的數量關系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將△BCN繞點C按順時針方向旋轉90°得△ACP，連接MP，根據SAS證得△MCP≌△MCN，得出MP=MN，再根據∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，運用勾股定理得出Rt△APM中，PM²=AM²+AP²，進而得到MN²=AM²+BM²；
（2）將△BCN繞點C按順時針方向旋轉90°得△ACP，連接MP，得出∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，根據SAS證得△MCP△MCN，進而得出MP=MN，再根據∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，得到∠PAM=90°，在Rt△APM中，根據勾股定理得到PM²=AM²+AP²，進而得出MN²=AM²+BM²．．

解答 解：（1）①如圖2，將△BCN繞點C按順時針方向旋轉90°得△ACP，連接MP，則
∠BCN=∠ACP，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠MCN=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠ACP+∠ACM=45°，
∴∠PCM=∠NCM；
②證明：由旋轉可得△CAP≌△CBN，
∴AP=BN，PC=NC，∠CAP=∠B=45°，
在△MCP和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=NC}\\{∠PCM=∠NCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△MCP≌△MCN（SAS），
∴MP=MN，
∵∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，
∴Rt△APM中，PM²=AM²+AP²，
∴MN²=AM²+BM²；

（2）MN²=AM²+BM²，
理由：如圖，將△BCN繞點C按順時針方向旋轉90°得△ACP，連接MP，則
∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠PCM=90°-45°=45°，
∴∠PCM=∠NCP，
在△MCP和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=NC}\\{∠PCM=∠NCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△MCP△MCN（SAS），
∴MP=MN，
∵∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，
∴∠PAM=90°，
∴Rt△APM中，PM²=AM²+AP²，
∴MN²=AM²+BM²．

點評 此題屬于三角形綜合題，主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理及全等三角形的判定與性質的綜合應用．解題的關鍵是運用：旋轉前、后的圖形全等．解題時注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．