Question

12．已知a、b為有理數，m、n分別表示5-$\sqrt{7}$的整數部分和小數部分，且amn+bn²=1，則2a+b=2.5．

Answer 1

分析 只需首先對5-$\sqrt{7}$估算出大小，從而求出其整數部分a，其小數部分用5-$\sqrt{7}$-a表示．再分別代入amn+bn²=1進行計算．

解答 解：∵2＜$\sqrt{7}$＜3，
∴-3＜-$\sqrt{7}$＜-2，
∴2＜5-$\sqrt{7}$＜3，
∵m、n分別表示5-$\sqrt{7}$的整數部分和小數部分，
∴m=2，n=5-$\sqrt{7}$-2=3-$\sqrt{7}$；
∵amn+bn²=1，
∴2a（3-$\sqrt{7}$）+b•${（3-\sqrt{7}）}^{2}$=1，
化簡得（6a+16b）-$\sqrt{7}$（2a+6b）=1，
等式兩邊相對照，因為結果不含$\sqrt{7}$，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=-0.5．
所以2a+b=3-0.5=2.5．
故答案為：2.5．

點評 本題主要考查了無理數大小的估算和二次根式的混合運算．能夠正確估算出一個較復雜的無理數的大小是解決此類問題的關鍵．