Question

18．（1）計算：2cos45°+（π-2012）⁰-（$\frac{1}{3}$）^-1-|-$\sqrt{2}$|．
（2）解方程：$\frac{3x}{x+1}$-$\frac{1}{x-1}$=1．
（3）如果關于x的一元二次方程ax²-3x+1=0有兩個實數根，求a的取值范圍及a的非負整數值．

Answer 1

分析 （1）根據cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、任何數的0次方為1、負整數指數冪以及絕對值，即可得出原式的值；
（2）根據解分式方程的方程及步驟，一步步解方程即可得出結論；
（3）根據一元二次方程的定義即可得出a≠0，由方程有實數根結合根的判別式即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再取其內的非負整數即可．

解答 解：（1）原式=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1-3-$\sqrt{2}$=-2；
（2）去分母，得3x（x-1）-（x+1）=（x+1）（x-1），
去括號，得3x²-3x-x-1=x²-1，
移項、合并同類項，得2x²-4x=2x（x-2）=0，
解得：x₁=0，x₂=2，
經檢驗，x₁=0，x₂=2是原方程的解．
（3）∵方程ax²-3x+1=0為一元二次方程，
∴a≠0．
∵方程ax²-3x+1=0有兩個實數根，
∴△=（-3）²-4a=9-4a≥0，
解得：a≤$\frac{9}{4}$．
∴a≤$\frac{9}{4}$且a≠0，
∴a=1，2．
答：a的取值范圍為a≤$\frac{9}{4}$且a≠0，a的非負整數值為1和2．

點評 本題考查了根的判別式、解分式方程、實數的運算、零指數冪、負整數指數冪以及特殊角的三角函數值，解題的關鍵是：（1）將cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、（π-2012）⁰=1、（$\frac{1}{3}$）^-1=3、|-$\sqrt{2}$|=$\sqrt{2}$代入算式之中；（2）熟練掌握解分式方程的方法及步驟；（3）由根的判別式找出關于a的一元一次不等式．