Question

15．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．
（1）如圖①，當∠MAN點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系：AH=AB；
（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．

Answer 1

分析 （1）由三角形全等可以證明AH=AB，
（2）延長CB至E，使BE=DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，
（3）分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE，設AH=x，則MC=x-2，NC=x-3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

解答 解：（1）如圖①AH=AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在△ABM與△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN，
∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，
∵AH⊥MN，
∴∠MAH=$\frac{1}{2}$MAN=22.5°，
∵∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠BAM=22.5°，
在△ABM與△AHM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠HAM}\\{∠B=∠AHM=90°}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AHM，
∴AB=AH；
故答案為：AH=AB；

（2）數量關系成立．如圖②，延長CB至E，使BE=DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADN}\\{BE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∴∠EAM=∠NAM=45°，
在△AEM和△ANM中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ANM，
∴S_△AEM=S_△ANM，EM=MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，
∴AB=AH；

（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°，
分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，
設AH=x，則MC=x-2，NC=x-3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²，
∴5²=（x-2）²+（x-3）²，
解得x₁=6，x₂=-1（不符合題意，舍去）
∴AH=6．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理，翻折的性質，此題比較典型，具有一定的代表性，且證明過程類似，同時通過做此題培養了學生的猜想能力和類比推理能力．