Question

定義[a，b，c]為函數y=ax²+bx+c的特征數，下面給出特征數為[2m，1-m，-1-m]的函數的一些結論：
①當m=-3時，函數圖象的頂點坐標是（，）；
②當m＞0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于；
③當m＜0時，函數在時，y隨x的增大而減小；
④當m≠0時，函數圖象經過x軸上一個定點．
其中正確的結論有    ．（只需填寫序號）

Answer 1

【答案】分析：①把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；
②令函數值為0，求得與x軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；
③首先求得對稱軸，利用二次函數的性質解答即可；
④根據特征數的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答．
解答：解：因為函數y=ax²+bx+c的特征數為[2m，1-m，-1-m]；
①當m=-3時，y=-6x²+4x+2=-6（x-）²+，頂點坐標是（，）；此結論正確；
②當m＞0時，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x=，x₁=1，x₂=--，
|x₂-x₁|=+＞，所以當m＞0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于，此結論正確；
③當m＜0時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小．因為當m＜0時，=-＞，即對稱軸在x=右邊，因此函數在x=右邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，此結論錯誤；
④當x=1時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對任意m，函數圖象都經過點（1，0）那么同樣的：當m=0時，函數圖象都經過同一個點（1，0），當m≠0時，函數圖象經過同一個點（1，0），故當m≠0時，函數圖象經過x軸上一個定點此結論正確．
根據上面的分析，①②④都是正確的，③是錯誤的．
故答案為：①②④．
點評：此題考查二次函數的性質，頂點坐標，兩點間的距離公式，以及二次函數圖象上點的坐標特征．