Question

定義[a，b，c]為函數y=ax²+bx+c的特征數，下面給出特征數為[2m，1-m，-1-m]的函數的一些結論：
①當m=-1時，函數圖象的頂點坐標是（

1

2

，4）； 
②當m＞0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于

3

2

；
③當m＜0時，函數在x＜

1

4

時，y隨x的增大而增大；
④當m≠0時，函數圖象經過x軸上一個定點．  
其中正確的結論有

②③④

．（只需填寫序號）

Answer 1

分析：①把m=-1代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；
②令函數值為0，求得與x軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；
③首先求得對稱軸，利用二次函數的性質解答即可；
④根據特征數的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可；

解答：解：因為函數y=ax²+bx+c的特征數為[2m，1-m，-1-m]；
①、當m=-1時，y=-2x²+2x=-2（x-

1

2

）²+

1

2

，頂點坐標是（

1

2

，

1

2

）；此結論錯誤；
②、當m＞0時，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得：x₁=1，x₂=-

1

2

-

1

2m

，
|x₂-x₁|=

3

2

+

1

2m

＞

3

2

，所以當m＞0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于

3

2

，此結論正確；
③當m＜0時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：

m-1

4m

，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小．因為當m＜0時，

m-1

4m

=

1

4

-

1

4m

＞

1

4

，即對稱軸在x=

1

4

右邊，因此函數在x=

1

4

右邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，此結論正確；
④當x=1時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對任意m，函數圖象都經過點（1，0）那么同樣的：當m=0時，函數圖象都經過同一個點（1，0），當m≠0時，函數圖象經過同一個點（1，0），故當m≠0時，函數圖象經過x軸上一個定點此結論正確．
根據上面的分析，②③④都是正確的，①是錯誤的．
故答案為：②③④．

點評：此題考查二次函數的性質，頂點坐標，兩點間的距離公式，以及二次函數圖象上點的坐標特征．