Question

20．如圖，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分別平分△ABC的外角∠EAC，內角∠ABC，外角∠ACF，以下結論不正確的是（　　）

• A． AD∥BC
• B． ∠ACB=2∠ADB
• C． ∠ADC=90°-∠ABD
• D． BD平分∠ADC

Answer 1

分析 A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等兩直線平行得出結論正確．
B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出結論∠ACB=2∠ADB，
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的關系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出結論∠ADC=90°-∠ABD；
D、由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC，由于∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，得到∠ADB不等于∠CDB，故錯誤．

解答 解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故A正確．
B、由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故B正確．
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故C正確；
D、∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴D錯誤；
故選D．

點評 本題主要考查了三角形的內角和，平行線的判定和性質，三角形外角的性質等知識，解題的關鍵是正確找各角的關系．