Question

如圖①，P是△ABC邊AC上的動點，以P為頂點作矩形PDEF，頂點D，E在邊BC上，頂點F在邊AB上；△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a，h，且是關于x的一元二次方程mx ²＋nx＋k＝0的兩個實數根，設過D，E，F三點的⊙O的面積為S_⊙O，矩形PDEF的面積為S_矩形PDEF．

（1）求證：以a＋h為邊長的正方形面積與以a，h為邊長的矩形面積之比不小于4；

（2）求 的最小值；

（3） 當 的值最小時，過點A作BC的平行線交直線BP于Q，這時線段AQ的長與m，n，k的取值是否有關？請說明理由．

Answer 1

解法一：

（1）據題意，∵a＋h＝－，a^·h＝

∴所求正方形與矩形的面積之比：

_＝＝  

∵n ²－4mk≥0，∴n ²≥4mk，由a^·h＝知m，k同號

∴mk＞0  

（說明：此處未得出mk＞0只扣1分，不再影響下面評分）

∴≥＝4  

即正方形與矩形的面積之比不小于4

（2）∵∠FED＝90º，∴DF為⊙O的直徑

∴⊙O的面積為：S_⊙O＝π()²＝π＝(EF ²＋DE ²)

矩形PDEF的面積：S_矩形PDEF＝EF^·DE

∴面積之比：_＝(＋)，設＝f

則_＝( f＋)_＝(－)²＋

∵(－)²≥0，∴(－)²＋≥  

∴_＝

⊙