Question

10．如圖，一副直角三角板滿足∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC，AB=DF，∠EFD=30°，將三角板DEF的直角頂點D放置于三角板ABC的斜邊AB上，再將三角板DEF繞點D旋轉，并使邊DE與邊AC交于點M，邊DF與邊BC于點N．當∠EDF在△ABC內繞頂點D旋轉時有以下結論：
①點C，M，D，N四點共圓；
②連接CD，若AD=DB，則△ADM∽△CDN；
③若AD=DB，則DN•CM=BN•DM；
④若AD=DB，則CM+CN=$\sqrt{2}$AD；
⑤若DB=2AD，AB=6，則2≤S_△DMN≤4．
其中正確結論的個數是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①正確，如圖1中，只要證明∠MCN+∠MDN=180°．
②正確，可以證明△ADM與△DCN全等．
③正確，如圖3中，只要證明△ADM≌△CDN，推出AM=CN，DM=DN，因為AC=BC，推出CM=BN，即可證明．
④正確，如圖4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．只要證明四邊形CHDG是正方形，△DHM≌△DGN，推出MH=NG，推出CM+CN=CH+MH+CG-NG=2CH，又因為AD=CD=$\sqrt{2}$CH，由此即可證明．
⑤正確，如圖5中，由△DHM∽△DGN，推出$\frac{DM}{DN}$=$\frac{DH}{DG}$=$\frac{1}{2}$，設DM=x，則DG=2x，推出S_△DMN=$\frac{1}{2}$•2x•x=x²，當DM⊥AC時，DM的值最小，此時DM=DH=$\sqrt{2}$，△DMN的面積最小值為2，當DM⊥AB時，DM的值最大，此時DM=AD=2，△DMN的面積的最大值為4，由此即可判斷．

解答 解：①正確．理由如下：
如圖1中，

∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，
∴∠MCN+∠MDN=180°，
∴點C，M，D，N四點共圓．

②正確．理由如下：
如圖2中，連接CD．

∵AC=BC．AD=DB．
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
∴∠ADC=∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠A=∠DCN}\\{∠ADM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDN．故②正確．

③正確．理由如下：
如圖3中

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，CD⊥AB，∠A=∠ACD=∠DCN=45°，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠CDN}\\{∠A=∠DCN}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，DM=DN，
∵AC=BC，
∴CM=BN，
∴DN•CM=BN•DM

④正確．理由如下：
如圖4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．

∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴DH=DG，
∵∠DHC=∠HCG=∠CGD=90°，
∴四邊形CHDG是矩形，∵DH=DG，
∴四邊形CHDG是正方形，
∴∠HDG=∠MDN=90°，CH=CG，
∴∠MDH=∠GDN，
在△DHM和△DGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDH=∠GDN}\\{∠DHM=∠DGN}\\{DH=DG}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△DGN，
∴MH=NG
∴CM+CN=CH+MH+CG-NG=2CH，
∵AD=CD=$\sqrt{2}$CH，
∴CM+CN=$\sqrt{2}$AD．

⑤正確．理由如下：
如圖5中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．

∵AB=6，BD=2AD，
∴AD=2，BD=4，
∴AH=DH=$\sqrt{2}$，DG=GB=2$\sqrt{2}$，
∵∠DHC=∠HCG=∠CGD=90°，
∴四邊形CHDG是矩形，
∴∠HDG=∠MDN，
∴∠MDH=∠NDG，∵∠DHM=∠DGN=90°，
∴△DHM∽△DGN，
∴$\frac{DM}{DN}$=$\frac{DH}{DG}$=$\frac{1}{2}$，設DM=x，則DG=2x，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$•2x•x=x²，
當DM⊥AC時，DM的值最小，此時DM=DH=$\sqrt{2}$，△DMN的面積最小值為2，
當DM⊥AB時，DM的值最大，此時DM=AD=2，△DMN的面積的最大值為4，
∴2≤S_△DMN≤4．
故選D．

點評 本題考查四點共圓、旋轉變換、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質，最值問題等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．