Question

6．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=12，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F，連接AF．
（1）求證：AB⊥AF；
（2）求AF的長度．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C=30°，根據線段垂直平分線的性質得到FA=FC，得到∠BAF=90°，得到答案；
（2）根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半計算即可．

解答 證明：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF是AC的垂直平分線，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，又∠BAC=120°，
∴∠BAF=90°，
∴AB⊥AF；
（2）∵EF⊥AC，∠C=30°，BC=12，
∴FC=2EF，
∵∠B=30°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F，
∴BF=2FA，AF=CF，
∴AF=4．

點評 本題考查的是線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的性質和直角三角形的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．