Question

8．△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O，過O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．
（1）說明：OF與CF的大小關系；
（2）猜想：BE、CF、EF之間存在何種數量關系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由BE=EO，根據等邊對等角，可得∠EBO=∠EOB，又由△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，可得∠EBO=∠OBC，即可判定EF∥BC，則可證得∠FOC=∠OCB=∠OCF，由等角對等邊，即可證得OF=CF；
（2）先根據兩直線平行內錯角相等及角平分線定義，得到∠OBE=∠EOB，根據等角對等邊得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．

解答 解：（1）OF=CF．
理由：∵BE=EO，
∴∠EBO=∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，
∴OF=CF；

（2）EF=BE+CF，
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB；
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．

點評 本題考查了角平分線定義，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識點，關鍵是推出BE=OE，CF=OF．