Question

如圖，拋物線y=a（x﹣m）²+2m﹣2（其中m＞1）與其對稱軸l相交于點P，與y軸相交于點A（0，m﹣1）．連接并延長PA、PO，與x軸、拋物線分別相交于點B、C，連接BC．點C關于直線l的對稱點為C′，連接PC′，即有PC′=PC．將△PBC繞點P逆時針旋轉，使點C與點C′重合，得到△PB′C′．

（1）該拋物線的解析式為　 　（用含m的式子表示）；

（2）求證：BC∥y軸；

（3）若點B′恰好落在線段BC′上，求此時m的值．

Answer 1

（1）解：∵A（0，m﹣1）在拋物線y=a（x﹣m）²+2m﹣2上，

∴a（0﹣m）²+2m﹣2=m﹣1．

∴a=．

∴拋物線的解析式為y=（x﹣m）²+2m﹣2．

（2）證明：如圖1，

設直線PA的解析式為y=kx+b，

∵點P（m，2m﹣2），點A（0，m﹣1）．

∴．

解得：．

∴直線PA的解析式是y=x+m﹣1．

當y=0時，x+m﹣1=0．

∵m＞1，

∴x=﹣m．

∴點B的橫坐標是﹣m．

設直線OP的解析式為y=k′x，

∵點P的坐標為（m，2m﹣2），

∴k′m=2m﹣2．

∴k′=．

∴直線OP的解析式是y=x．

聯立

解得：或．

∵點C在第三象限，且m＞1，

∴點C的橫坐標是﹣m．

∴BC∥y軸．

（3）解：若點B′恰好落在線段BC′上，

設對稱軸l與x軸的交點為D，連接CC′，如圖2，

則有∠PB'C'+∠PB'B=180°．

∵△PB′C′是由△PBC繞點P逆時針旋轉所得，

∴∠PBC=∠PB'C'，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．

∴∠PBC+∠PB'B=180°．

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO=180°．

∴∠PB'B=∠BAO．

∵PB=PB′，PC=PC′，

∴∠PB′B=∠PBB′=，

∴∠PCC′=∠PC′C=．

∴∠PB′B=∠PCC′．

∴∠BAO=∠PCC′．

∵點C關于直線l的對稱點為C′，

∴CC′⊥l．

∵OD⊥l，

∴OD∥CC′．

∴∠POD=∠PCC′．

∴∠POD=∠BAO．

∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，

∴△BAO∽△POD．

∴=．

∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，

∴=．

解得：

∴m₁=2+，m₂=2﹣．

經檢驗：m₁=2+，m₂=2﹣都是分式方程的解．

∵m＞1，

∴m=2+．

∴若點B′恰好落在線段BC′上，此時m的值為2+．