Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，?ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸上，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）點P由B出發沿BC方向勻速運動，速度為每秒2個單位長度，點Q由D出發沿DA方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒（0＜t≤3），是否存在某一時刻；使△AOP與△QAO相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先解一元二次方程得出OA=4，OB=3，再用勾股定理即求出AB，最后用三角函數的定義即可得出結論；
（2）分點P在OB和OC上兩種情況，當點P在OB上時①分△AOP∽△OAQ和△AOP∽△QAO，用比例式建立方程求解即可；當點P在OC上時，同點P在OB上的方法即可得出結論．

解答 解：（1）由方程x²-7x+12=0解得，x=4，或x=3，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴cos∠ABC=$\frac{OB}{AB}=\frac{3}{5}$，
（2）如圖，由題意得，BP=2t，AQ=6-t，
當點P在OB上時，0＜t＜1.5，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①當$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{AQ}$時，△AOP∽△OAQ，
∴$\frac{3-2t}{3}=\frac{4}{6-t}$，
∴t=$\frac{15+\sqrt{209}}{4}$（舍）或t=$\frac{15-\sqrt{209}}{4}$，
②當$\frac{OP}{OA}=\frac{AQ}{OA}$時，△AOP∽△QAO，
∴3-2t=6-t，
∴t=-3（舍），
當點P在OC上時，1.5≤t≤3，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①當$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{AQ}$，△AOP∽△OAQ，
∴$\frac{2t-3}{4}=\frac{4}{6-t}$此時方程無實數解，
②當$\frac{OP}{OA}=\frac{AQ}{OA}$，
∴2t-3=6-t，
∴t=3，
綜上可得當t=$\frac{15-\sqrt{209}}{4}$或t=3時，△AOP與△QAO相似

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，勾股定理，銳角三角函數，相似三角形的性質等知識點；利用分類討論的思想方法是解答本題的要點；