Question

4．如圖，在Rt△ABC，∠C=90°．AC=6，BC=8．點P，Q同時從點C出發．點P沿C-A一B以每秒3個單位的速度運動．點Q沿C一B一A以每秒2個單位的速度運動，當P，Q相遇時停止運動．
（1）當P，Q相遇時，t=$\frac{24}{5}$s（直接寫出答案）
（2）在運動過中．求△PCQ的面積S與運動時間t的函數關系式．
（3）在運動過程中，是否存在∠PQC=∠A？若存在．請寫出t的值（直接寫出答案）若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可得AB=10，設t秒后相遇，由題意3t+2t=6+8+10，解方程即可．
（2）分三種情形考慮問題①如圖1中，當0＜t≤2時，②如圖2中，當2＜t≤4時，作PH⊥BC于H．③如圖3中，當4＜t$≤\frac{24}{5}$時，作CH⊥AB于H，分別求解即可．
（3）分三種情形考慮問題①如圖1中，當0＜t≤2時，②如圖2中，當2＜t≤4時，作PH⊥BC于H．③如圖3中，當4＜t$≤\frac{24}{5}$時，作CH⊥AB于H，分別求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
設t秒后相遇，由題意3t+2t=6+8+10，
∴t=$\frac{24}{5}$s．
故答案為$\frac{24}{5}$s．

（2）①如圖1中，當0＜t≤2時，S=$\frac{1}{2}$×3t×2t=3t²，

②如圖2中，當2＜t≤4時，作PH⊥BC于H．

∵PH∥AC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{PH}{AC}$，
∴$\frac{16-3t}{10}$=$\frac{PH}{6}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（16-3t），
∴S=$\frac{1}{2}$•CQ•PH=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{5}$（16-3t）=-$\frac{9}{5}$t²+$\frac{48}{5}$t．
③如圖3中，當4＜t$≤\frac{24}{5}$時，作CH⊥AB于H，則CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，

∴S=$\frac{1}{2}$×PQ×CH=$\frac{1}{2}$（24-5t）×$\frac{24}{5}$=-12t+$\frac{288}{5}$，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{3{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{9}{5}{t}^{2}+\frac{48}{5}t}&{（2＜t≤4）}\\{-12t+\frac{288}{5}}&{（4＜t≤\frac{24}{5}）}\end{array}\right.$．

（3）①如圖1中，當0＜t≤2時，
∵$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴△PCQ與△BCA不相似，
∠PQC≠∠A，
②如圖2中，當2＜t≤4時，作PH⊥BC于H．
∵∠A=∠PQC，
∴tan∠PQC=tan∠A=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{PH}{HQ}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}（16-3t）}{\frac{4}{5}（16-3t）-（8-2t）}$=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{48}{19}$s．
③如圖3中，當4＜t$≤\frac{24}{5}$時，作CH⊥AB于H，
∵∠A=∠PQC，
∴CA=CQ，AH=HQ=$\frac{18}{5}$，
∴BQ=AB-2AH=$\frac{14}{5}$，
∴t=$\frac{8+\frac{14}{5}}{2}$=$\frac{27}{5}$不合題意舍棄，
綜上所述，t=$\frac{48}{19}$s時，∠PQC=∠A．

點評 本題考查三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．