Question

8．如圖，在正方形ABCD中，BD為對角線，
（1）如圖1，E、P為直線BC上兩點(diǎn)，連接DP、DE，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，BC=2，當(dāng)∠DPC=∠EDC時(shí)，求△PED的面積；
（2）如圖2，E在BD上，且∠ECD=15°，過C作CP⊥CE交DB延長線于P，在CP上取點(diǎn)F，連接EF，延長EC至點(diǎn)G使CG=CF，在CP上取點(diǎn)H，連接GH使GH=EF．求證：2DE=PH．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，由△ECD∽△DCP，得$\frac{DC}{CP}$=$\frac{EC}{DC}$，求出PC，再根據(jù)S_△PDE=$\frac{1}{2}$•PE•DC計(jì)算即可．
（2）如圖2中，連接BH．由△ECF≌△HCG，推出EC=HC，再證明∠P=30°，由△BCH≌△DCE，推出DE=BH，∠CBH=∠CDE=45°，推出∠DBH=∠DBC+∠CBH=90°，推出∠FBH=90°，推出PH=2BH即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC=2，∠DCB=90°，
∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，
∴EC=1，
∵∠DPC=∠EDC，∠DCE=∠DCP，
∴△ECD∽△DCP，
∴$\frac{DC}{CP}$=$\frac{EC}{DC}$，
∴$\frac{2}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=4，PE=3，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}$•PE•DC=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

（2）如圖2中，連接BH．

∵CE⊥PC，
∴∠ECF=∠HCG=90°，
在△ECF和△HCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=CH}\\{∠ECF=∠HCG}\\{CF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△HCG，
∴EC=HC，
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠ECD=∠BCH=15°，
∵∠DBC=∠BCP+∠P=45°，
∴∠P=30°，
在△BCH和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCH=∠ECD}\\{CH=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△DCE，
∴DE=BH，∠CBH=∠CDE=45°，
∴∠DBH=∠DBC+∠CBH=90°，
∴∠FBH=90°，
∴PH=2BH，
∴PH=2DE．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，證明線段之間的兩倍關(guān)系要想到直角三角形30度角性質(zhì)，屬于中考常考題型．