Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：∠C=2∠DBE．
（3）若EA=AO=2，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析 （1）連接OD，由BC為圓O的切線，利用切線的性質得到∠ABC為直角，由CD=CB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OB=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，進而得到∠ODC=∠ABC，確定出∠ODC為直角，即可得證；
（2）根據圖形，利用外角性質及等邊對等角得到∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，由（1）得：OD⊥EC于點D，可得∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，等量代換即可得證；
（3）作OF⊥DB于點F，根據S_陰影=S_扇形OAD+S_△BOD即可求解．

解答 （1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD=∠ABC=90°，即OD⊥CD，
∵點D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線；
（2）解：∵OD=OB，∴∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，
∵OD⊥EC，∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，
∴∠C=∠DOE=2∠DBE；
（3）解：如圖，作OF⊥DB于點F，連接AD，


由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜邊的中線，
∴AD=AO=OD，∴∠DOA=60°，∴∠OBD=30°，
又∵OB=AO=2，OF⊥BD，∴OF=1，BF=$\sqrt{3}$，
∴BD=2BF=2$\sqrt{3}$，∠AOD=60°，
∴S_陰影=S_扇形OAD+S_△BOD=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的判定與性質，以及扇形面積的計算，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．