Question

16．如圖，△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，AD=AE，△ABC的高AF交BD于G，過(guò)點(diǎn)E作BD的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)H，若GF=3，CH=4，則點(diǎn)A到BD的距離為$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 如圖，作AM⊥EH于M，AN⊥BD于N交BC于T，CK⊥AT于K交EH的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，BD交EH于Q．連接AQ．首先證明AQ平分∠EQD，推出四邊形AMQN是正方形，由△ABN≌△CAK，推出AM=CK，PK=CK，由TK∥PH，推出CT=TH=2，由△BFN≌△AFT，推出NF=TF=3，F(xiàn)H=1，BF=CF=5，在Rt△BNF中，可得BN=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
由△CTK∽△BNF，得到$\frac{CK}{BF}$=$\frac{CT}{BN}$，求出CK即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作AM⊥EH于M，AN⊥BD于N交BC于T，CK⊥AT于K交EH的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，BD交EH于Q．連接AQ．

∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∵EH⊥BD，
∴∠EQD=90°，
∴∠EQD+∠EAD=180°，
∴A、E、Q、D四點(diǎn)共圓，
∴∠AQE=∠ADE=45°，∠AQD=∠AED=45°，
∴AQ平分∠EQD，∵AM⊥MQ，AN⊥QD，
∴AM=AN，則易知四邊形AMQN是正方形，四邊形AMPK是矩形，
∴AM=PK，
在△ABN和△CAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABN=∠CAK}\\{∠ANB=∠AKC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CAK，
∴AM=CK，
∴PK=CK，
∵TK∥PH，
∴CT=TH=2，
在△BFN和△AFT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBN=∠FAT}\\{BF=AF}\\{∠BFN=∠AFT}\end{array}\right.$，
∴△BFN≌△AFT，
∴NF=TF=3，
∴FH=1，
∴BF=CF=5，
在Rt△BNF中，BF=5，F(xiàn)N=3，
∴BN=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
由△CTK∽△BNF，
∴$\frac{CK}{BF}$=$\frac{CT}{BN}$，
∴$\frac{CK}{5}$=$\frac{2}{\sqrt{34}}$，
∴CK=$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．
∴AN=CK=$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．
故答案為$\frac{5}{17}$$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、角平分線(xiàn)的判定定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)條件輔助線(xiàn)，本題的突破點(diǎn)是證明四邊形AMQN是正方形，屬于中考填空題中的壓軸題．