Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，AO：BO=1：5．CO=BO．△ABC的面積為15．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△ACP的周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）可設(shè)OA=x（x＞0），則OB=OC=5x，根據(jù)三角形的面積可求得x的值，可求得A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：
（1）設(shè)AO=x，則BO=CO=5x，
∴AB=6x，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×6x×5x=15x²，
又△ABC的面積為15，
解得x=1，
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-5），
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得-5=-5a，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-4x-5；
（2）∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴連接BC交對(duì)稱軸于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，如圖，

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
把B、C坐標(biāo)代入可得

0=5k+b -5=b

，解得

k=1 b=-5

，
∴直線BC解析式為y=x-5，
由（1）可求得拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
在y=x-5中，令x=2可得y=-3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法及二次函數(shù)的對(duì)稱性，在（1）中求得A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．