Question

設m，n為正整數，且m≠2，二次函數y=x²+（3-mt）x-3mt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為d₁，二次函數y=-x²+（2t-n）x+2nt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為d₂．如果d₁≥d₂對一切實數t恒成立，求m，n的值．

Answer 1

分析：先分別求出一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0和方程-x²+（2t-n）x+2nt=0的根，再根據兩點間的距離公式表示出d₁、|d₂的值，再根據d₁≥d₂即可得到關于m、n的不等式，求出m、n的值即可．

解答：解：∵一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0可化為（x-mt）（x+3）=0，
∴此方程兩根分別為mt和-3，
∴d₁=|mt+3|；
∵一元二次方程-x²+（2t-n）x+2nt=0可化為（x-2t）（x+n）=0，
∴此方程的兩根分別為2t和-n，
∴d₂=|2t+n|．
∵d₁≥d₂，即|mt+3|≥|2t+n|，
∴（mt+3）²≥（2t+n）²，（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0（1）
由題意知，m²-4≠0，且（1）式對一切實數t恒成立，
∴

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

?

m＞2 4(mn-6)2≤0

?

m＞2 mn=6

∴

m=3 n=2

或

m=6 n=1.

．
故答案為：

m=3 n=2

或

m=6 n=1.

．

點評：本題考查的是二次函數的圖象與x軸的交點問題，先求出兩函數與x軸的交點，再根據題意得到關于n、m的不等式是解答此題的關鍵．