Question

設m，n為正整數，且m≠2，如果對一切實數t，二次函數y=x²+（3-mt）x-3mt的圖象與x軸的兩個交點間的距離不小于|2t+n|，求m，n的值．

Answer 1

分析：根據一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0的兩根分別為mt和-3，求得拋物線與x軸的兩個交點間的距離，再結合已知條件得到關于t的不等式（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0，要保證不等式成立，根據拋物線的性質，則開口向上，且與x軸無交點，即可求解．

解答：解：因為一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0的兩根分別為mt和-3，所以二次函數y=x²+（3-mt）x-3mt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為|mt+3|．
由題意，|mt+3|≥|2t+n|，即（mt+3）²≥（2t+n）²，即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0．
由題意知，m²-4≠0，且上式對一切實數t恒成立，
所以

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

?

m＞2 4(mn-6)2≤0

?

m＞2 mn=6

，
所以

m=3 n=2

或

m=6 n=1.

點評：此題綜合考查了二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系，有一定的難度．