Question

（1）求方程6xy+4x-9y-7=0的整數解；
（2）設x、y為正整數，且x²+y²+4y-96=0，求xy的值．

Answer 1

分析：（1）原方程變形為：（2x-3）（3y+2）=1，根據題意有2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，即可求出方程的整數解．
（2）原方程變為：（y+2）²=100-x²≥0，而x、y為正整數，得到x為1到10之間的數，并且100-x²為完全平方數，所以x=6或8，
然后求出對應的y的值，最后計算xy．

解答：解：（1）原方程變形為：（2x-3）（3y+2）=1，
∵原方程有整數解，
∴2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，
解得x=2，y=-

1

3

（舍），或x=1，y=-1；
所以原方程的解為：x=1，y=-1；

（2）原方程變為：（y+2）²=100-x²，
∴（y+2）²=100-x²，≥0，
∴x²≤100，
∴x=1，2，…10．
而100-x²是完全平方數，
∴x=6或8．
∴當x=6，（y+2）²=100-x²=64，解得y=6，
所以xy=6×6=36；
當x=8，（y+2）²=100-x²=36，解得y=4；
所以xy=8×4=32．

點評：本題考查了方程整數解的求法：把方程進行變形，使方程左邊分解為含未知數的兩個式子，右邊為常數，然后利用整數的整除性求解．