Question

求方程x²+6xy-7y²=2009的正整數(shù)解．

Answer 1

分析：首先把方程x²+6xy-7y²=2009左邊進(jìn)行因式分解得：（x-y）（x+7y），又知2009=7×7×41，即當(dāng)x-y=1，7，41，49，287，2009時(shí)，相應(yīng)的有x+7y=2009，287，49，41，7，1，結(jié)合x(chóng)和y都是正整數(shù)，解出x和y的值．

解答：解：∵方程x²+6xy-7y²=2009，
∴（x-y）（x+7y）=2009，
∵2009=7×7×41，
∴當(dāng)x-y=1，7，41，49，287，2009時(shí)，相應(yīng)的有x+7y=2009，287，49，41，7，1，
∵x，y均是正整數(shù)，則x-y＜x+7y，
故上述六種關(guān)系中，只有三種可能成立，
（1）

x-y=1 x+7y=2009

，
（2）

x-y=7 x+7y=287

，
（3）

x-y=41 x+7y=49

，
解得（x，y）=（252，251），（42，35），（42，1）此即為方程的全部正整數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查非一次不定方程的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是進(jìn)行因式分解，此題難度一般．