Question

求方程x²+6xy-7y²=2009的正整數解．

Answer 1

∵方程x²+6xy-7y²=2009，
∴（x-y）（x+7y）=2009，
∵2009=7×7×41，
∴當x-y=1，7，41，49，287，2009時，相應的有x+7y=2009，287，49，41，7，1，
∵x，y均是正整數，則x-y＜x+7y，
故上述六種關系中，只有三種可能成立，
（1）

x-y=1 x+7y=2009

，
（2）

x-y=7 x+7y=287

，
（3）

x-y=41 x+7y=49

，
解得（x，y）=（252，251），（42，35），（42，1）此即為方程的全部正整數解．