Question

7．在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+2與y軸交于點A，點A關于x軸的對稱點為B，過點B作y軸的垂線l，直線l與直線y=-x+2交于點C；拋物線y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）的頂點坐標為D．
（1）求點C，D的坐標；
（2）若點E（2，-2）在拋物線y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）上，求n的值；
（3）若拋物線y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）與線段BC有唯一公共點，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意分別求出點A、B、C的坐標，再講二次函數配方可得頂點D的坐標；
（2）將點E坐標代入，解方程即可得；
（3）根據題意知當x=0時y＞-2，當x=4時y≤-2，列不等式組求解可得．

解答 解：（1）y=-x+2中當x=0時，y=2，
∴點A（0，2），
∵點A關于x軸的對稱點為B，
∴點B（0，-2），
∵點B垂直于y軸的直線l與直線y=-x+2交于點C，
∴當y=-2時，-x+2=-2，
解得：x=4，
即點C（4，-2）；
∵y=nx²-2nx+n+2=n（x-1）²+2，
∴頂點D的坐標為（1，2）；

（2）將點E（2，-2）代入y=nx²-2nx+n+2，得：-2=4n-4n+n+2，
解得：n=-4；

（3）根據題意知當x=0時y＞-2，當x=4時y≤-2，
即$\left\{\begin{array}{l}{n+2＞-2}\\{16n-8n+n+2≤-2}\end{array}\right.$，
解得：-4＜n≤-$\frac{4}{9}$．

點評 本題主要考查二次函數的性質，根據題意得出關于n的不等式組是解題的關鍵．