Question

17．如圖，花邊上正三角形的內切圓半徑1cm，如果這條花邊中有100個圓和100個正三角形，算一算這條花邊的總長度．

Answer 1

分析 畫出圖形，連接AD，OB，則AD過O，求出∠OBD=30°，求出OB，根據勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC的長后求得花邊的周長．

解答 解：從中選擇一個等邊三角形和其內接圓如圖，⊙O是△ABC的內切圓，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
連接AD，OB，則AD過O（因為等邊三角形的內切圓的圓心再角平分線上，也在底邊的垂直平分線上），
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵⊙O是△ABC的內切圓，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90°，
∵OD=1cm，
∴OB=2cm，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$（cm），
∴BC=2$\sqrt{3}$（cm），
∴這條花邊的總長度為：2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$+200×2$\sqrt{3}$=404$\sqrt{3}$（cm）．

點評 本題考查了三角形的內切圓與圓心的知識，解題的關鍵是計算一個等邊三角形的邊長，難度中等．