Question

19．如圖（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平方∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．

（1）以直線CE為對稱軸，作△CEB的軸對稱圖形；
（2）求證：BE=$\frac{1}{2}$CD；
（3）點P是BC上異于BC的任一點，PQ∥CE，交BE于Q，交AB于W，如圖（2）所示，試探究線段BQ與線段PW的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）如圖，延長BE交CA延長線于F，即可作出△CEB的軸對稱圖形；
（2）根據全等三角形的性質得到FE=BE，根據余角的性質得到∠ACD=∠ABF，得到△ACD≌△ABF（ASA），根據全等三角形的性質得到CD=BF，即可得到結論；
（3）由PQ∥CE，得到△PBW∽△BCD，△BPQ∽△BCE，根據相似三角形的性質得到$\frac{PW}{CD}=\frac{PB}{BC}$，$\frac{BQ}{BE}=\frac{PB}{BC}$，由比例的性質得到$\frac{PW}{CD}=\frac{BQ}{BE}$，即$\frac{BQ}{PW}=\frac{BE}{CD}$，即可得到結論．

解答 解：（1）如圖，延長BE交CA延長線于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCE=∠BCE}\\{CE=CE}\\{∠CEF=CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴△CFE與△CEB關于直線CE對稱；

（2）∵△CEF≌△CEB，
∴FE=BE，
∵∠DAC=∠CEF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠ABF}\\{AC=AB}\\{∠CAD=∠BAF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD=BF，
∴BE=$\frac{1}{2}$CD；

（3）∵PQ∥CE，
∴△PBW∽△BCD，△BPQ∽△BCE，
∴$\frac{PW}{CD}=\frac{PB}{BC}$，$\frac{BQ}{BE}=\frac{PB}{BC}$，
∴$\frac{PW}{CD}=\frac{BQ}{BE}$，即$\frac{BQ}{PW}=\frac{BE}{CD}$，
由（2）證得BE=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{BQ}{PW}=\frac{1}{2}$，
即BQ=$\frac{1}{2}$PW．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，作圖-軸對稱變換，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．