Question

（本題滿分9分）已知：如圖1，△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15．將線段AB沿過點A的直線翻折，使得點B的對應點E恰好落在BC邊上，折痕與BC邊相交于點D，如圖2所示．

（1） 求線段DE的長；

（2） 在圖2中，若點P為線段AC上一點，且△AEP為等腰三角形，求AP的長．

小李在解決第（2）小題時的過程如下：

① 當EA＝EP時，顯然不存在；當AE＝AP時，則AP＝__________；（需填空）

② 對于“當PA＝PE時的情形”，小李在解決時遇到了困難．小明老師對小李說：對于這個“直線形”圖形直接解決困難時，我們可以建立平面直角坐標系，用一次函數的知識解決．如以點D為坐標原點，BC所在直線為x軸，然后求出AE中垂線的直線解析式，然后求出點P的坐標，最后用勾股定理求出AP的長……

請根據小明老師的提示完成第（2）題中②的求解，你也可以用自己的方法求出AP的長．

Answer 1

（1）5；（2）①13；②．

【解析】

試題分析：（1）設BD=x，則DE=x，CD=14-x，由，即可解出x的值，從而得到DE；

（2）①AP=AE=AB=13；

②以D為坐標原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系，由（1）得AD=12，CD=9，DE=BD=5，得到E(5，0)，C(9，0)，A(0，12)．設直線AE為，把E(5，0)， A(0，12)代入，求出直線AE的解析式為；同樣可求直線AC的解析式為，再求線段AE的中點M（x，y）的坐標，由于直線PM垂直平分線段AE，故可設直線PM為：，把M(2.5，6)代入即可求出直線PM為，因為P為直線PM和直線AC的交點，聯立解方程組可得P（，），根據兩點間距離公式即可算出AP的長．

試題解析：（1）設BD=x，則DE=x，CD=14-x，∴，即：，解得：，∴DE=5；

（2）①AP=AE=AB=13；

②以D為坐標原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系，由（1）得AD=12，CD=9，DE=BD=5，∴E(5，0)，C(9，0)，A(0，12)．設直線AE為，把E(5，0)， A(0，12)代入得：，解得：，∴直線AE為：；同樣可求直線AC的解析式為：，設線段AE的中點M（x，y），則，，∴M(2.5，6)，∵直線PM垂直平分線段AE，∴設直線PM為：，把M(2.5，6)代入得：，解得：，∴直線PM為：，P為直線PM和直線AC的交點，∴，解得：，∴P（，），∴AP==．

考點：1．一次函數的綜合運用；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理．