Question

定義{a，b，c}為函數y=ax²+bx+c的“特征數”．如：函數y=x²-2x+3的“特征數”是{1，-2，3}，函數y=2x+3的“特征數”是{0，2，3}，函數y=-x的“特征數”是{0，-1，0}
（1）將“特征數”是{0，

3

3

，1}的函數圖象向下平移2個單位，得到一個新函數，這個新函數的解析式是y=

3

3

x-1；
（2）在（1）中，平移前后的兩個函數分別與y軸交于A、B兩點，與直線x=

3

分別交于D、C兩點，判斷以A、B、C、D四點為頂點的四邊形形狀，請說明理由并計算其周長；
（3）若（2）中的四邊形與“特征數”是{1，-2b，b2+

1

2

}的函數圖象的有交點，求滿足條件的實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數“特征數”寫出函數的解析式，再根據平移后一次函數的變化情況寫出函數圖象向下平移2個單位的新函數的解析式．
（2）判斷以A、B、C、D四點為頂點的四邊形形狀，可根據一次函數圖象向下平移2個單位與原函數圖象的關系，得出AB=2，并確定為平行四邊形，由直線相交計算交點坐標后，求出線段BC=2，再根據菱形的判定（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）得出，其周長=2×4=8；
（3）根據函數“特征數”寫出二次函數的解析式，化為頂點式為y=（x-b）²+

1

2

，確定二次函數的圖象不會經過點B和點C，再將菱形頂點A（0，1），D（

3

，2）代入二次函數解析式得出實數b的取值范圍．

解答：解：（1）y=

3

3

x-1（1分）“特征數”是{0，

3

3

，1}的函數，
即y=

3

3

+1，
該函數圖象向下平移2個單位，得y=

3

3

x-1．

（2）由題意可知y=

3

3

x+1向下平移兩個單位得y=

3

3

x-1
∴AD∥BC，AB=2．
∵x=

3

，
∴AB∥CD．
∴四邊形ABCD為平行四邊形．

x= 3 y= 3 3 x-1

，
得C點坐標為（

3

，0），
∴D（

3

，2）
由勾股定理可得BC=2
∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB=2，BC=2
∴四邊形ABCD為菱形．
∴周長為8．

（3）二次函數為：y=x²-2bx+b²+

1

2

，化為頂點式為：y=（x-b）²+

1

2

，
∴二次函數的圖象不會經過點B和點C．
設二次函數的圖象與四邊形有公共部分，
當二次函數的圖象經過點A時，將A（0，1），代入二次函數，
解得b=-

2

2

，b=

2

2

（不合題意，舍去），
當二次函數的圖象經過點D時，
將D（

3

，2），代入二次函數，
解得b=

3

+

6

2

，b=

3

-

6

2

（不合題意，舍去），
所以實數b的取值范圍：-

2

2

≤b≤

3

+

6

2

．

點評：本題結合“特征數”的定義考查一次函數，二次函數的綜合應用，綜合性強，能力要求高．