Question

9．我們把有一組鄰邊相等，一組對邊平行但不相等的四邊形稱作“準菱形”．
（1）證明“準菱形”性質：“準菱形”的一條對角線平分一個內角．
（要求：根據圖1寫出已知，求證，證明）
已知：如圖，“準菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）
求證：BD平分∠ABC．
證明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA．
∴∠ABD=∠DBC．
即BD平分∠ABC
（2）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．若點D，E分別在邊BC，AC上，且四邊形ABDE為“準菱形”．請在下列給出的△ABC中（圖2），作出滿足條件的所有“準菱形”ABDE，并寫出相應DE的長．（所給△ABC不一定都用，不夠可添）

Answer 1

分析 （1）根據準菱形的定義寫出已知，結合圖形寫出求證，利用平行線的性質定理進行證明；
（2）分AE=AB，DE∥AB、BA=BD，DE∥AB、EA=ED，DE∥AB、DE=BD，DE∥AB四種情況，利用相似三角形的判定定理和性質定理計算即可．

解答 解：（1）已知：如圖，“準菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）．
求證：BD平分∠ABC．
證明：
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA．
∴∠ABD=∠DBC．
即BD平分∠ABC；
故答案為：如圖，“準菱形”ABCD中，AB=AD，AD∥BC，（AD≠BC）；BD平分∠ABC；∵AB=AD，∴∠ABD=∠BDA，又∵AD∥BC，∴∠DBC=∠BDA．∴∠ABD=∠DBC．即BD平分∠ABC；
（2）可以作出如下四種圖形，
∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=5，
如圖2，當AE=AB，DE∥AB時，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{1}{4}$，
解得，DE=$\frac{3}{4}$；
如圖3，當BA=BD，DE∥AB時，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得，DE=$\frac{6}{5}$；
如圖4，當EA=ED，DE∥AB時，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{4-DE}{4}$，
解得，DE=$\frac{12}{7}$；
如圖5，當DE=BD，DE∥AB時，
$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{5-DE}{5}$，
解得，DE=$\frac{15}{8}$．

點評 本題考查的是新定義、相似三角形的判定和性質，正確理解準菱形的定義、靈活運用相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，在解答時注意分情況討論思想是靈活運用．