Question

（1）如圖①，在凹四邊形ABCD中，∠ABD與∠ACD的角平分線交于點E，∠A=60°，∠BDC=140°，則∠E=

 

°；
（2）如圖②，∠ABD，∠BAC的角平分線交于點E，∠C=40°，∠BDC=150°，求∠AEB的度數；
（3）如圖③，∠BAC，∠DBC的角平分線交于點E，則∠B，∠C與∠E之間有怎樣的數量關系

 

．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）連接BC，由三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數，再根據∠BDC=140°求出∠DBC+∠DCB的度數，根據∠ABD與∠ACD的角平分線交于點E求出∠EBD+∠ECD的度數，根據三角形內角和定理即可得出∠E的度數；
（2）延長BD交AC于點F，根據∠BDC是△CDF的外角可求出∠CFD的度數，再根據∠CFD是△ABF的外角可得出∠BAC+∠ABD的度數，進而得出結論；
（3）由三角形的外角性質可知，∠BAC+∠B+∠C=∠BDC，再由角平分線的定義可知∠BAE=∠CAE=

1

2

∠BAC，∠BDE=∠CDE=

1

2

∠BDC，由∠1=∠B+∠BAE=∠B+

1

2

∠BAC即可得出結論．

解答： 解：（1）連接BC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠BDC=140°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠ABD+∠ACD=120°-40°=80°，
∵∠ABD與∠ACD的角平分線交于點E，
∴∠EBD+∠ECD=

1

2

×80°=40°，
∴∠EBC+∠ECB=40°+40°=80°，
∴∠E=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-80°=100°．
故答案為：100；

（2）延長BD交AC于點F，
∵∠BDC是△CDF的外角，∠C=40°，∠BDC=150°，
∴∠CFD=∠BDC-∠C=150°-40°=110°，
∵∠CFD是△ABF的外角，
∴∠BAC+∠ABD=∠CFD=110°，
∵∠ABD，∠BAC的角平分線交于點E，
∴∠BAE+∠ABE=

1

2

（∠BAC+∠ABD）=

1

2

×110°=55°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-55°=125°；

（3）由三角形的外角性質可知，∠BAC+∠B+∠C=∠BDC，
∵∠BAC，∠BDC的角平分線交于點E，
∴∠BAE=∠CAE=

1

2

∠BAC，∠BDE=∠CDE=

1

2

∠BDC，
∵∠1=∠B+∠BAE=∠B+

1

2

∠BAC，
∴∠B+

1

2

∠BAC=∠E+

1

2

（∠BAC+∠B+∠C），即∠B-∠C=2∠E．

點評：本題考查的是三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．