Question

3．觀察下列各式的特點：
$\sqrt{1}$=1，$\sqrt{1+3}$=2，$\sqrt{1+3+5}$=3，$\sqrt{1+3+5+7}$=4，…
計算：$\frac{1}{\sqrt{1}×\sqrt{1+3}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+3}×\sqrt{1+3+5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{1+3+…+2015}×\sqrt{1+3+…+2017}}$=$\frac{1008}{1009}$．

Answer 1

分析 先利用題中的規律化簡二次根式得到原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{1008×1009}$，然后利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把每個分數分成兩個分數的差，再進行分數的運算即可．

解答 解：原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{1008×1009}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{1008}$-$\frac{1}{1009}$
=1-$\frac{1}{1009}$
=$\frac{1008}{1009}$．
故答案為$\frac{1008}{1009}$．

點評 本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．